On 17 Jun., 12:16, Aatu Koskensilta <aatu.koskensi...@uta.fi> wrote: > Virgil <Vir...@home.esc> writes: > > In article > > <995d761a-f70f-4bca-b961-8db8e1663...@d37g2000yqm.googlegroups.com>, > > WM <mueck...@rz.fh-augsburg.de> wrote: > > >> On 15 Jun., 22:24, Virgil <Vir...@home.esc> wrote: > > >> > Note that it is possible to have an uncomputable number whose > >> > decimal expansion has infinitely many known places, so long as it > >> > has at least one unknown place. > > >> That is mathematically wrong. > > > It may not match every definition of 'uncomputable', but otherwise it is > > right. > > It doesn't really match any definition of 'computable'. > > -- > Aatu Koskensilta (aatu.koskensi...@uta.fi) > > "Wovon man nicht sprechan kann, darüber muss man schweigen" > - Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus- Zitierten Text ausblenden -
As you seem to be able to understand German: Here is a paragraph from Fraenkel celebrated book (3rd ed. 1928, Springer). The annotations in double curly brackets are mine.
Die Ordnungsregel kann, wenn M eine endliche Menge ist, durch Aufzählung aller Paare von Elementen und Angabe der jeweils gültigen Ordnungsbeziehung ausgedrückt werden (etwa tabellarisch). Ein derartiges Verfahren ist natürlich bei einer unendlichen Menge M unmöglich. {{Natürlich! Wie konnte diese Erkenntnis so in Vergessenheit geraten?}} Hier muß an die Stelle einer Aufzählung oder Tabelle das Hilfsmittel treten, dessen sich die Mathematik allgemein bedient, um unendlichviele Einzelsachverhalte in einen endlichen Ausdruck zu kleiden: das Gesetz (zu dessen Aussprache man meist Formeln benutzt). Es verhält sich damit also ebenso wie mit der Abbildung zweier äquivalenter Mengen (d. h. der umkehrbar eindeutigen Zuordnung ihrer Elemente) ? die zwar bei endlichen Mengen durch eine Summe von Einzelvorschriften, bei unendlichen aber nur durch Angabe eines Zuordnungsgesetzes zu vollziehen ist. {{Kann man es noch klarer sagen? Diese Aussage gilt aber nicht nur für äquivalente Mengen, sondern auch für die Angabe einer unendlichen Ziffernfolge. Die Zuordnung einer Ziffer zu jeder natürlichen Zahl ist ohne Gesetz nicht möglich! Deshalb gibt es für unendliche Folgen auch kein Diagonalverfahren. Und daher ist das hier zitierte Buch fast gänzlich falsch und überflüssig - mit einer einzigen Ausnahme, nämlich der hier vorgestellten. Allein dieser Erkenntnis wegen lohnt die aufmerksame Lektüre.}} [Adolf Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre" 3. Aufl., Springer, Berlin (1928) p. 125f]
