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Re: TRANSFINITE would be very weak if there was an alternate theory
Posted:
Dec 7, 2011 2:42 PM
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On Dec 7, 7:24 pm, WM <mueck...@rz.fh-augsburg.de> wrote:
> On 7 Dez., 15:12, Tonico <Tonic...@yahoo.com> wrote:
>
> > On Dec 7, 2:50 pm, William Hughes <wpihug...@gmail.com> wrote:
>
> > Of course, he may try to reason his nonsense by saying that he talks
> > of finite sets, but then there'd not be any discussion at all.
>
> FISONs are finite sets: finite initial segments of the natural
> numbers.
>
> > It all
> > begins when he, and other trolls and cranks, try to extrapolate their
> > limited grasping on finite sets to infinite ones.
>
> That's not done. I prove that all natural numbers fit into the
> sequence of FISONs. And mathematics shows that everything that is in
> the sequence of FISONs is in one FISON (unless some union-hocus-pocus
> is applied - but in mathematics this is not necessary, fortunately).
>
> > This, of course, is paradoxical as they seem to be fighting actively
> > against those very same infinite sets they MUST use
>
> here you should stop talking about things you cannot understand,
> namely the big difference of potential and actual infinity. Even if I
> post it here again, you will not comprehend it.
>
> > But hey, what'd be this forum without these clowns?
>
> Boring, so please stay here.
>
> Regards, WM
>
> Will man in Kürze die neue Auffassung des Unendlichen, der Cantor
> Eingang verschafft hat, charakterisieren, so könnte man wohl sagen: in
> der Analysis haben wir es nur mit dem Unendlichkleinen und dem
> Unendlichengroßen aIs Limesbegriff, als etwas Werdendem, Entstehendem,
> Erzeugtem, d. h., wie man sagt, mit dem potentiellen Unendlichen zu
> tun. Aber das eigentlich Unendliche selbst ist dies nicht. Dieses
> haben wir z. B., wenn wir die Gesamtheit der Zahlen 1, 2, 3, 4, . . .
> selbst als eine fertige Einheit betrachten oder die Punkte einer
> Strecke als eine Gesamtheit von Dingen ansehen, die fertig vorliegt.
> Diese Art des Unendlichen wird als aktual unendlich bezeichnet.
> [Hilbert, Über das Unendliche, p.167]
>
> "Cantor's work was well received by some of the prominent
> mathematicians of his day, such as Richard Dedekind. But his
> willingness to regard infinite sets as objects to be treated in much
> the same way as finite sets was bitterly attacked by others,
> particularly Kronecker. There was no objection to a 'potential
> infinity' in the form of an unending process, but an 'actual
> infinity'
> in the form of a completed infinite set was harder to accept."
>
> (H. Enderton, Elements of Set Theory)
>
> Cantor, Werke, p. 374: "Trotz wesentlicher Verschiedenheit der
> Begriffe
> des potentialen und aktualen Unendlichen, indem ersteres eine
> veränderliche endliche, über alle Grenzen hinaus wachsende Größe,
> letztere ein in sich festes, konstantes, jedoch jenseits aller
> endlichen Größen liegendes Quantum bedeutet, tritt doch leider nur zu
> oft der Fall ein, daß das eine mit dem andern verwechselt wird."
>
> Fraenkel, Abraham A., Levy, Azriel: "Abstract Set Theory" (1976):
> "the
> set of all integers is infinite (infinitely comprehensive) in a sense
> which is "actual" (proper) and not "potential". (p.6)
> One may doubt whether this example really illustrates the abyss
> between finiteness and actual infinity.(p.6)
> Thus the conquest of actual infinity may be considered an expansion of
> our scientific horizon no less revolutionary than the Copernican
> system or than the theory of relativity, or even of quantum and
> nuclear physics. (p.240)
>
> Thomas Jech, Set Theory Stanford.htm, Stanford Encyclopedia of
> Philosophy: Until then, no one envisioned the possibility that
> infinities come in different sizes, and moreover, mathematicians had
> no use for ?actual infinity.? The arguments using infinity, including
> the Differential Calculus of Newton and Leibniz, do not require the
> use of infinite sets,
>
> Hilbert (1926, S. 167). "Will man in Kürze die neue Auffassung des
> Unendlichen, der Cantor Eingang verschafft hat, charakterisieren, so
> könnte man wohl sagen: in der Analysis haben wir es nur mit dem
> Unendlichkleinen und dem Unendlichgroßen als Limesbegriff, als etwas
> Werdendem, Entstehendem, Erzeugtem, d.h., wie man sagt, mit dem
> potentiell Unendlichen zu tun. Aber das eigentlich Unendliche selbst
> ist dies nicht. Dieses haben wir z.B., wenn wir die Gesamtheit der
> Zahlen 1,2,3,4, ... selbst als eine fertige Einheit betrachten oder
> die Punkte einer Strecke als eine Gesamtheit von Dingen ansehen, die
> fertig vorliegt. Diese Art des Unendlichen wird als aktual unendlich
> bezeichnet."
>
> Lorenzen: Die endlichen Weltmodelle der gegenwärtigen
> Naturwissenschaft zeigen deutlich, wie diese Herrschaft eines
> Gedankens einer aktualen Unendlichkeit mit der klassischen
> (neuzeitlichen) Physik zu Ende gegangen ist.
> Befremdlich wirkt dem gegenüber die Einbeziehung des Aktual-
> Unendlichen in die Mathematik, die explizit erst gegen Ende des
> vorigen Jahrhunderts mit G. Cantor begann.
>
> Henri Poincaré (1864-1912)
> Mathematische Objekte existieren nicht, sofern sie nicht gedacht
> werden. Alle
> mathematischen Begriffe sollen deshalb mit endlich vielen Worten
> definierbar
> und alle Behauptungen mit endlich vielen Operationen verifizierbar
> sein.
> Was die Menschen ?unendlich? nennen, ist nur die endlose Möglichkeit,
> neue
> Objekte zu ?schaffen?, unabhängig davon, wie viele Objekte bereits
> bestehen.
> Die Vorstellung etwa einer aktual existierenden unendlichen Menge ist
> eine
> falsche Vorstellung.
>
> Heuser Analysis Bd.1 weist ausdrücklich darauf hin das seine Beweise
> nur
> für aktual unendlich gelten und zitiert dafür extra Aristoteles
> (Infinum
> Datur non Actu), dem er ausdrücklich wiederspricht.
>
> Kurosch Gruppentheorie (2Bd), weist schon im Vorwort seines
> Lehrbuches
> darauf hin das die Anerkennung aktual unendlicher (in seinen Worten
> transfiniter) Mengen zwingend für die Richtigkeit seiner Beweise
> vorausgesetzt wird.
Hehe...who was the clown, with initials W. M., that whined about
relying on authority just 2-3 days ago?
I loved the mention of the great group theorist Kurosh, with all his
wonderful series (normal, central, abelian) indexed by ordinals well
beyond what's been discussed here...wonderful!
Tonio
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