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Topic: fom - 01 - preface
Replies: 2   Last Post: Dec 26, 2012 10:36 AM

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mueckenh@rz.fh-augsburg.de

Posts: 15,385
Registered: 1/29/05
Re: fom - 01 - preface
Posted: Dec 26, 2012 10:36 AM
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On 24 Dez., 23:47, Alan Smaill <sma...@SPAMinf.ed.ac.uk> wrote:

>    "Indeed, in his discussion containing his
>     he essentially remarks in passing that every linear number is bounded
>     above by a real number."


Cantor's notion of linearity is this:

Sie erwähnen in Ihrem Schreiben die Frage über die aktual unendlich
kleinen Größen. An mehreren Stellen meiner Arbeit werden Sie die
Ansicht ausgesprochen finden, daß dies unmögliche, d. h. in sich
widersprechende Gedankendinge sind, und ich habe schon in meinem
Schriftchen "Grundlagen e. allg. Mannigfaltigkeitslehre" pag. 8 im §
4, wenn auch damals noch mit einer gewissen Reserve, angedeutet, daß
die strenge Begründung dieser Position aus der Theorie der
transfiniten Zahlen herzuleiten wäre. Erst in diesem Winter fand sich
die Zeit dazu, meine diesen Gegenstand betreffenden Ideen in die
Gestalt eines förmlichen Beweises zu bringen. Es handelt sich um den
Satz:
"Von Null verschiedene lineare Zahlengrößen zeta (d. h. kurz gesagt,
solche Zahlgrößen, welche sich unter dem Bilde begrenzter geradliniger
stetiger Strecken vorstellen lassen), welche kleiner wären als jede
noch so kleine endliche Zahlgröße, gibt es nicht, d. h. sie
widersprechen dem Begriff der linearen Zahlgröße." Der Gedankengang
meines Beweises ist einfach folgender: ich gehe von der Voraussetzung
einer linearen Größe?zeta aus, die so klein sei, daß ihr n-faches
zeta*n
für jede noch so große endliche Zahl n kleiner ist als die Einheit,
und beweise nun aus dem Begriff der linearen Größe und mit Hilfe
gewisser Sätze der transfiniten Zahlenlehre, daß alsdann auch
zeta*nue
kleiner ist als jede noch so kleine endliche Größe, wenn nue
irgendeine noch so große transfinite Ordnungszahl (d. h. Anzahl oder
Typus einer wohlgeordneten Menge) aus irgendeiner noch so hohen
Zahlenklasse bedeutet. Dies heißt aber doch, daß zeta auch durch keine
noch so kräftige actual unendliche Vervielfachung endlich gemacht
werden, also sicherlich nicht Element endlicher Größen sein kann.
Somit widerspricht die gemachte Voraussetzung dem Begriff linearer
Größen, welcher derartig ist, daß nach ihm jede lineare Größe als
integrierender Teil von anderen, im besonderen von endlichen linearen
Größen gedacht werden muß. Es bleibt also nichts übrig, als die
Voraussetzung fallen zu lassen, wonach es eine Größe zeta gäbe, die
für jede endliche ganze Zahl n kleiner wäre als 1/n, und hiermit ist
unser Satz bewiesen.

[GEORG CANTOR, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und
philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit
Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor - Dedekind Herausgegeben von
ERNST ZERMELO Nebst einem Lebenslauf Cantors von ADOLF FRAENKEL, 1966
GEORG OLMS VERLAGSBUCHHANDLUNG HILDESHEIM, p. 407f.]

Zermelo, the editor of Cantor's work, has not detected any attempt by
Cantor to cheat. Zermelo notes that Cantor's proof is invalid, he does
not note, however, that multiplying linear magnitudes in Cantor's
sense would be erroneous or a blatant fraud. That insight has been
published by you for the first time (and for the last time too, I
think).

Regards, WM



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