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Topic: The Charlwood Fifty
Replies: 52   Last Post: Jun 24, 2013 10:24 PM

 Messages: [ Previous | Next ]
 Waldek Hebisch Posts: 267 Registered: 12/8/04
Re: The Charlwood Fifty
Posted: May 23, 2013 8:01 PM

Albert Rich <Albert_Rich@msn.com> wrote:
> I just posted a revised pdf file of the Charlwood Fifty integration test-suite at
>
> http://www.apmaths.uwo.ca/~arich/CharlwoodIntegrationProblems.pdf
>
> that incorporates the changes Martin suggested. Please disregard the previous version of the file. Also posted is a Mathematica package file of the test-suite in machine readable form at
>
> http://www.apmaths.uwo.ca/~arich/CharlwoodProblems.m
>
> Not yet found are elementary antiderivatives for problems 45 and 49, and several other antiderivatives are obviously not optimal...
>
> Albert

AFAICS 49 leads to genuine elliptic integral, so no elementary
antiderivative. For 45 FriCAS produces the monster below.
This seem the be expansion of single log term with respect
to eight roots of -4:

+---------+
| +-+
4+-+ |2\|2 - 4
4\|2 |---------
| +-+
\|2\|2 - 3
*
atan
+-+ +-+ +-+
((2\|2 + 2)sin(x) + (- 2\|2 - 2)cos(x) - 2\|2 - 2)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 + 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ 4|-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 + 3
+
+-----------+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+ |2sin(x) - 2
((- 2\|2 - 4)\|2 cos(x) + (- 2\|2 - 4)\|2 ) |-----------
\| cos(x)
/
+---------+
| +-+ +-----------+
+-+ +-+ |2\|2 + 4 |2sin(x) - 2
((\|2 + 2)cos(x) + \|2 + 2) |--------- |-----------
| +-+ \| cos(x)
\|2\|2 + 3
*
ROOT
+-+ 3 +-+ 2
(48\|2 + 68)cos(x) + (48\|2 + 68)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 192\|2 - 272)cos(x) - 192\|2 - 272
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 144\|2 - 204)cos(x) + (- 144\|2 - 204)cos(x)
+
+-+ +-+
(192\|2 + 272)cos(x) + 192\|2 + 272
*
+-----------+2
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(- 29\|2 - 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(58\|2 + 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(116\|2 + 164)\|2 cos(x)
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 4
(29\|2 + 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(87\|2 + 123)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 58\|2 - 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 116\|2 - 164)\|2 cos(x)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 + 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ |-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 + 3
+
+-+ 4+-+ 3
(- 24\|2 - 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 24\|2 - 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+
(96\|2 + 136)\|2 cos(x) + (96\|2 + 136)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(72\|2 + 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(72\|2 + 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+
(- 96\|2 - 136)\|2 cos(x) + (- 96\|2 - 136)\|2
*
+---------+
| +-+
|2\|2 + 4
|---------
| +-+
\|2\|2 + 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+2 3
(48\|2 + 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 2
(48\|2 + 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(- 192\|2 - 272)\|2 cos(x) + (- 192\|2 - 272)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+2 3
(- 144\|2 - 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 2
(- 144\|2 - 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(192\|2 + 272)\|2 cos(x) + (192\|2 + 272)\|2
/
+-+ 3 +-+ 2
(12\|2 + 17)cos(x) + (12\|2 + 17)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 48\|2 - 68)cos(x) - 48\|2 - 68
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 36\|2 - 51)cos(x) + (- 36\|2 - 51)cos(x)
+
+-+ +-+
(48\|2 + 68)cos(x) + 48\|2 + 68
+
+---------+
| +-+ +-----------+
+-+ +-+ |2\|2 + 4 |2sin(x) - 2
((2\|2 + 2)cos(x) + 2\|2 + 2) |--------- |-----------
| +-+ \| cos(x)
\|2\|2 + 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-----------+
+-+4+-+ +-+4+-+ |2sin(x) - 2
(- 2\|2 \|2 cos(x) - 2\|2 \|2 ) |-----------
\| cos(x)
+
+---------+
| +-+
4+-+ |2\|2 - 4
4\|2 |---------
| +-+
\|2\|2 - 3
*
atan
+-+ +-+ +-+
((2\|2 + 2)sin(x) + (- 2\|2 - 2)cos(x) - 2\|2 - 2)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 + 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ 4|-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 + 3
+
+-----------+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+ |2sin(x) - 2
((- 2\|2 - 4)\|2 cos(x) + (- 2\|2 - 4)\|2 ) |-----------
\| cos(x)
/
+---------+
| +-+ +-----------+
+-+ +-+ |2\|2 + 4 |2sin(x) - 2
((\|2 + 2)cos(x) + \|2 + 2) |--------- |-----------
| +-+ \| cos(x)
\|2\|2 + 3
*
ROOT
+-+ 3 +-+ 2
(48\|2 + 68)cos(x) + (48\|2 + 68)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 192\|2 - 272)cos(x) - 192\|2 - 272
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 144\|2 - 204)cos(x) + (- 144\|2 - 204)cos(x)
+
+-+ +-+
(192\|2 + 272)cos(x) + 192\|2 + 272
*
+-----------+2
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(- 29\|2 - 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(58\|2 + 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(116\|2 + 164)\|2 cos(x)
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 4
(29\|2 + 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(87\|2 + 123)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 58\|2 - 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 116\|2 - 164)\|2 cos(x)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 + 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ |-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 + 3
+
+-+ 4+-+ 3
(24\|2 + 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(24\|2 + 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 96\|2 - 136)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 96\|2 - 136)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(- 72\|2 - 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 72\|2 - 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+
(96\|2 + 136)\|2 cos(x) + (96\|2 + 136)\|2
*
+---------+
| +-+
|2\|2 + 4
|---------
| +-+
\|2\|2 + 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+2 3
(48\|2 + 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 2
(48\|2 + 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(- 192\|2 - 272)\|2 cos(x) + (- 192\|2 - 272)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+2 3
(- 144\|2 - 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 2
(- 144\|2 - 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(192\|2 + 272)\|2 cos(x) + (192\|2 + 272)\|2
/
+-+ 3 +-+ 2
(12\|2 + 17)cos(x) + (12\|2 + 17)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 48\|2 - 68)cos(x) - 48\|2 - 68
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 36\|2 - 51)cos(x) + (- 36\|2 - 51)cos(x)
+
+-+ +-+
(48\|2 + 68)cos(x) + 48\|2 + 68
+
+---------+
| +-+ +-----------+
+-+ +-+ |2\|2 + 4 |2sin(x) - 2
((2\|2 + 2)cos(x) + 2\|2 + 2) |--------- |-----------
| +-+ \| cos(x)
\|2\|2 + 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-----------+
+-+4+-+ +-+4+-+ |2sin(x) - 2
(2\|2 \|2 cos(x) + 2\|2 \|2 ) |-----------
\| cos(x)
+
+---------+
| +-+
+-+ 4+-+ |2\|2 + 4
(- 8\|2 - 12)\|2 |---------
| +-+
\|2\|2 + 3
*
atan
+-+ +-+ +-+
((2\|2 - 2)sin(x) + (- 2\|2 + 2)cos(x) - 2\|2 + 2)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 - 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ 4|-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 - 3
+
+-----------+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+ |2sin(x) - 2
((- 2\|2 + 4)\|2 cos(x) + (- 2\|2 + 4)\|2 ) |-----------
\| cos(x)
/
+---------+
| +-+ +-----------+
+-+ +-+ |2\|2 - 4 |2sin(x) - 2
((\|2 - 2)cos(x) + \|2 - 2) |--------- |-----------
| +-+ \| cos(x)
\|2\|2 - 3
*
ROOT
+-+ 3 +-+ 2
(48\|2 - 68)cos(x) + (48\|2 - 68)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 192\|2 + 272)cos(x) - 192\|2 + 272
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 144\|2 + 204)cos(x) + (- 144\|2 + 204)cos(x)
+
+-+ +-+
(192\|2 - 272)cos(x) + 192\|2 - 272
*
+-----------+2
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(- 29\|2 + 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(58\|2 - 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(116\|2 - 164)\|2 cos(x)
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 4
(29\|2 - 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(87\|2 - 123)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 58\|2 + 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 116\|2 + 164)\|2 cos(x)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 - 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ |-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 - 3
+
+-+ 4+-+ 3
(- 24\|2 + 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 24\|2 + 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+
(96\|2 - 136)\|2 cos(x) + (96\|2 - 136)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(72\|2 - 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(72\|2 - 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+
(- 96\|2 + 136)\|2 cos(x) + (- 96\|2 + 136)\|2
*
+---------+
| +-+
|2\|2 - 4
|---------
| +-+
\|2\|2 - 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+2 3
(48\|2 - 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 2
(48\|2 - 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(- 192\|2 + 272)\|2 cos(x) + (- 192\|2 + 272)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+2 3
(- 144\|2 + 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 2
(- 144\|2 + 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(192\|2 - 272)\|2 cos(x) + (192\|2 - 272)\|2
/
+-+ 3 +-+ 2
(12\|2 - 17)cos(x) + (12\|2 - 17)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 48\|2 + 68)cos(x) - 48\|2 + 68
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 36\|2 + 51)cos(x) + (- 36\|2 + 51)cos(x)
+
+-+ +-+
(48\|2 - 68)cos(x) + 48\|2 - 68
+
+---------+
| +-+ +-----------+
+-+ +-+ |2\|2 - 4 |2sin(x) - 2
((- 2\|2 + 2)cos(x) - 2\|2 + 2) |--------- |-----------
| +-+ \| cos(x)
\|2\|2 - 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-----------+
+-+4+-+ +-+4+-+ |2sin(x) - 2
(2\|2 \|2 cos(x) + 2\|2 \|2 ) |-----------
\| cos(x)
+
+---------+
| +-+
+-+ 4+-+ |2\|2 + 4
(- 8\|2 - 12)\|2 |---------
| +-+
\|2\|2 + 3
*
atan
+-+ +-+ +-+
((2\|2 - 2)sin(x) + (- 2\|2 + 2)cos(x) - 2\|2 + 2)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 - 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ 4|-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 - 3
+
+-----------+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+ |2sin(x) - 2
((- 2\|2 + 4)\|2 cos(x) + (- 2\|2 + 4)\|2 ) |-----------
\| cos(x)
/
+---------+
| +-+ +-----------+
+-+ +-+ |2\|2 - 4 |2sin(x) - 2
((\|2 - 2)cos(x) + \|2 - 2) |--------- |-----------
| +-+ \| cos(x)
\|2\|2 - 3
*
ROOT
+-+ 3 +-+ 2
(48\|2 - 68)cos(x) + (48\|2 - 68)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 192\|2 + 272)cos(x) - 192\|2 + 272
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 144\|2 + 204)cos(x) + (- 144\|2 + 204)cos(x)
+
+-+ +-+
(192\|2 - 272)cos(x) + 192\|2 - 272
*
+-----------+2
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(- 29\|2 + 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(58\|2 - 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(116\|2 - 164)\|2 cos(x)
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 4
(29\|2 - 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(87\|2 - 123)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 58\|2 + 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 116\|2 + 164)\|2 cos(x)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 - 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ |-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 - 3
+
+-+ 4+-+ 3
(24\|2 - 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(24\|2 - 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 96\|2 + 136)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 96\|2 + 136)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(- 72\|2 + 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 72\|2 + 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+
(96\|2 - 136)\|2 cos(x) + (96\|2 - 136)\|2
*
+---------+
| +-+
|2\|2 - 4
|---------
| +-+
\|2\|2 - 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+2 3
(48\|2 - 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 2
(48\|2 - 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(- 192\|2 + 272)\|2 cos(x) + (- 192\|2 + 272)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+2 3
(- 144\|2 + 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 2
(- 144\|2 + 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(192\|2 - 272)\|2 cos(x) + (192\|2 - 272)\|2
/
+-+ 3 +-+ 2
(12\|2 - 17)cos(x) + (12\|2 - 17)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 48\|2 + 68)cos(x) - 48\|2 + 68
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 36\|2 + 51)cos(x) + (- 36\|2 + 51)cos(x)
+
+-+ +-+
(48\|2 - 68)cos(x) + 48\|2 - 68
+
+---------+
| +-+ +-----------+
+-+ +-+ |2\|2 - 4 |2sin(x) - 2
((- 2\|2 + 2)cos(x) - 2\|2 + 2) |--------- |-----------
| +-+ \| cos(x)
\|2\|2 - 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-----------+
+-+4+-+ +-+4+-+ |2sin(x) - 2
(- 2\|2 \|2 cos(x) - 2\|2 \|2 ) |-----------
\| cos(x)
+
+---------+
| +-+
+-+ 4+-+ |2\|2 + 4
(8\|2 + 12)\|2 |---------
| +-+
\|2\|2 + 3
*
atan
+-+ +-+ +-+
((2\|2 - 2)sin(x) + (- 2\|2 + 2)cos(x) - 2\|2 + 2)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 - 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ 4|-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 - 3
+
+-----------+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+ |2sin(x) - 2
((2\|2 - 4)\|2 cos(x) + (2\|2 - 4)\|2 ) |-----------
\| cos(x)
/
+---------+
| +-+ +-----------+
+-+ +-+ |2\|2 - 4 |2sin(x) - 2
((\|2 - 2)cos(x) + \|2 - 2) |--------- |-----------
| +-+ \| cos(x)
\|2\|2 - 3
*
ROOT
+-+ 3 +-+ 2
(48\|2 - 68)cos(x) + (48\|2 - 68)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 192\|2 + 272)cos(x) - 192\|2 + 272
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 144\|2 + 204)cos(x) + (- 144\|2 + 204)cos(x)
+
+-+ +-+
(192\|2 - 272)cos(x) + 192\|2 - 272
*
+-----------+2
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(29\|2 - 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 58\|2 + 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 116\|2 + 164)\|2 cos(x)
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 4
(- 29\|2 + 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(- 87\|2 + 123)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(58\|2 - 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(116\|2 - 164)\|2 cos(x)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 - 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ |-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 - 3
+
+-+ 4+-+ 3
(- 24\|2 + 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 24\|2 + 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+
(96\|2 - 136)\|2 cos(x) + (96\|2 - 136)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(72\|2 - 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(72\|2 - 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+
(- 96\|2 + 136)\|2 cos(x) + (- 96\|2 + 136)\|2
*
+---------+
| +-+
|2\|2 - 4
|---------
| +-+
\|2\|2 - 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+2 3
(48\|2 - 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 2
(48\|2 - 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(- 192\|2 + 272)\|2 cos(x) + (- 192\|2 + 272)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+2 3
(- 144\|2 + 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 2
(- 144\|2 + 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(192\|2 - 272)\|2 cos(x) + (192\|2 - 272)\|2
/
+-+ 3 +-+ 2
(12\|2 - 17)cos(x) + (12\|2 - 17)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 48\|2 + 68)cos(x) - 48\|2 + 68
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 36\|2 + 51)cos(x) + (- 36\|2 + 51)cos(x)
+
+-+ +-+
(48\|2 - 68)cos(x) + 48\|2 - 68
+
+---------+
| +-+ +-----------+
+-+ +-+ |2\|2 - 4 |2sin(x) - 2
((- 2\|2 + 2)cos(x) - 2\|2 + 2) |--------- |-----------
| +-+ \| cos(x)
\|2\|2 - 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-----------+
+-+4+-+ +-+4+-+ |2sin(x) - 2
(2\|2 \|2 cos(x) + 2\|2 \|2 ) |-----------
\| cos(x)
+
+---------+
| +-+
+-+ 4+-+ |2\|2 + 4
(8\|2 + 12)\|2 |---------
| +-+
\|2\|2 + 3
*
atan
+-+ +-+ +-+
((2\|2 - 2)sin(x) + (- 2\|2 + 2)cos(x) - 2\|2 + 2)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 - 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ 4|-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 - 3
+
+-----------+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+ |2sin(x) - 2
((2\|2 - 4)\|2 cos(x) + (2\|2 - 4)\|2 ) |-----------
\| cos(x)
/
+---------+
| +-+ +-----------+
+-+ +-+ |2\|2 - 4 |2sin(x) - 2
((\|2 - 2)cos(x) + \|2 - 2) |--------- |-----------
| +-+ \| cos(x)
\|2\|2 - 3
*
ROOT
+-+ 3 +-+ 2
(48\|2 - 68)cos(x) + (48\|2 - 68)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 192\|2 + 272)cos(x) - 192\|2 + 272
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 144\|2 + 204)cos(x) + (- 144\|2 + 204)cos(x)
+
+-+ +-+
(192\|2 - 272)cos(x) + 192\|2 - 272
*
+-----------+2
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(29\|2 - 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 58\|2 + 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 116\|2 + 164)\|2 cos(x)
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 4
(- 29\|2 + 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(- 87\|2 + 123)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(58\|2 - 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(116\|2 - 164)\|2 cos(x)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 - 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ |-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 - 3
+
+-+ 4+-+ 3
(24\|2 - 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(24\|2 - 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 96\|2 + 136)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 96\|2 + 136)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(- 72\|2 + 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 72\|2 + 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+
(96\|2 - 136)\|2 cos(x) + (96\|2 - 136)\|2
*
+---------+
| +-+
|2\|2 - 4
|---------
| +-+
\|2\|2 - 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+2 3
(48\|2 - 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 2
(48\|2 - 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(- 192\|2 + 272)\|2 cos(x) + (- 192\|2 + 272)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+2 3
(- 144\|2 + 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 2
(- 144\|2 + 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(192\|2 - 272)\|2 cos(x) + (192\|2 - 272)\|2
/
+-+ 3 +-+ 2
(12\|2 - 17)cos(x) + (12\|2 - 17)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 48\|2 + 68)cos(x) - 48\|2 + 68
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 36\|2 + 51)cos(x) + (- 36\|2 + 51)cos(x)
+
+-+ +-+
(48\|2 - 68)cos(x) + 48\|2 - 68
+
+---------+
| +-+ +-----------+
+-+ +-+ |2\|2 - 4 |2sin(x) - 2
((- 2\|2 + 2)cos(x) - 2\|2 + 2) |--------- |-----------
| +-+ \| cos(x)
\|2\|2 - 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-----------+
+-+4+-+ +-+4+-+ |2sin(x) - 2
(- 2\|2 \|2 cos(x) - 2\|2 \|2 ) |-----------
\| cos(x)
+
-
+---------+
| +-+
4+-+ |2\|2 - 4
4\|2 |---------
| +-+
\|2\|2 - 3
*
atan
+-+ +-+ +-+
((2\|2 + 2)sin(x) + (- 2\|2 - 2)cos(x) - 2\|2 - 2)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 + 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ 4|-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 + 3
+
+-----------+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+ |2sin(x) - 2
((2\|2 + 4)\|2 cos(x) + (2\|2 + 4)\|2 ) |-----------
\| cos(x)
/
+---------+
| +-+ +-----------+
+-+ +-+ |2\|2 + 4 |2sin(x) - 2
((\|2 + 2)cos(x) + \|2 + 2) |--------- |-----------
| +-+ \| cos(x)
\|2\|2 + 3
*
ROOT
+-+ 3 +-+ 2
(48\|2 + 68)cos(x) + (48\|2 + 68)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 192\|2 - 272)cos(x) - 192\|2 - 272
*
sin(x)
+
+-+ 3
(- 144\|2 - 204)cos(x)
+
+-+ 2 +-+
(- 144\|2 - 204)cos(x) + (192\|2 + 272)cos(x)
+
+-+
192\|2 + 272
*
+-----------+2
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(29\|2 + 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 58\|2 - 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 116\|2 - 164)\|2 cos(x)
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 4
(- 29\|2 - 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(- 87\|2 - 123)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(58\|2 + 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(116\|2 + 164)\|2 cos(x)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 + 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ |-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 + 3
+
+-+ 4+-+ 3
(- 24\|2 - 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 24\|2 - 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(96\|2 + 136)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(96\|2 + 136)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(72\|2 + 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(72\|2 + 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 96\|2 - 136)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 96\|2 - 136)\|2
*
+---------+
| +-+
|2\|2 + 4
|---------
| +-+
\|2\|2 + 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+2 3
(48\|2 + 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 2
(48\|2 + 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2
(- 192\|2 - 272)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2
(- 192\|2 - 272)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+2 3
(- 144\|2 - 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 2
(- 144\|2 - 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(192\|2 + 272)\|2 cos(x) + (192\|2 + 272)\|2
/
+-+ 3 +-+ 2
(12\|2 + 17)cos(x) + (12\|2 + 17)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 48\|2 - 68)cos(x) - 48\|2 - 68
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 36\|2 - 51)cos(x) + (- 36\|2 - 51)cos(x)
+
+-+ +-+
(48\|2 + 68)cos(x) + 48\|2 + 68
+
+---------+
| +-+ +-----------+
+-+ +-+ |2\|2 + 4 |2sin(x) - 2
((2\|2 + 2)cos(x) + 2\|2 + 2) |--------- |-----------
| +-+ \| cos(x)
\|2\|2 + 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-----------+
+-+4+-+ +-+4+-+ |2sin(x) - 2
(- 2\|2 \|2 cos(x) - 2\|2 \|2 ) |-----------
\| cos(x)
+
-
+---------+
| +-+
4+-+ |2\|2 - 4
4\|2 |---------
| +-+
\|2\|2 - 3
*
atan
+-+ +-+ +-+
((2\|2 + 2)sin(x) + (- 2\|2 - 2)cos(x) - 2\|2 - 2)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 + 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ 4|-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 + 3
+
+-----------+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+ |2sin(x) - 2
((2\|2 + 4)\|2 cos(x) + (2\|2 + 4)\|2 ) |-----------
\| cos(x)
/
+---------+
| +-+ +-----------+
+-+ +-+ |2\|2 + 4 |2sin(x) - 2
((\|2 + 2)cos(x) + \|2 + 2) |--------- |-----------
| +-+ \| cos(x)
\|2\|2 + 3
*
ROOT
+-+ 3 +-+ 2
(48\|2 + 68)cos(x) + (48\|2 + 68)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 192\|2 - 272)cos(x) - 192\|2 - 272
*
sin(x)
+
+-+ 3
(- 144\|2 - 204)cos(x)
+
+-+ 2 +-+
(- 144\|2 - 204)cos(x) + (192\|2 + 272)cos(x)
+
+-+
192\|2 + 272
*
+-----------+2
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(29\|2 + 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 58\|2 - 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 116\|2 - 164)\|2 cos(x)
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 4
(- 29\|2 - 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(- 87\|2 - 123)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(58\|2 + 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(116\|2 + 164)\|2 cos(x)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 + 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ |-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 + 3
+
+-+ 4+-+ 3
(24\|2 + 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(24\|2 + 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 96\|2 - 136)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 96\|2 - 136)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(- 72\|2 - 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 72\|2 - 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+
(96\|2 + 136)\|2 cos(x) + (96\|2 + 136)\|2
*
+---------+
| +-+
|2\|2 + 4
|---------
| +-+
\|2\|2 + 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+2 3
(48\|2 + 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 2
(48\|2 + 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2
(- 192\|2 - 272)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2
(- 192\|2 - 272)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+2 3
(- 144\|2 - 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 2
(- 144\|2 - 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(192\|2 + 272)\|2 cos(x) + (192\|2 + 272)\|2
/
+-+ 3 +-+ 2
(12\|2 + 17)cos(x) + (12\|2 + 17)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 48\|2 - 68)cos(x) - 48\|2 - 68
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 36\|2 - 51)cos(x) + (- 36\|2 - 51)cos(x)
+
+-+ +-+
(48\|2 + 68)cos(x) + 48\|2 + 68
+
+---------+
| +-+ +-----------+
+-+ +-+ |2\|2 + 4 |2sin(x) - 2
((2\|2 + 2)cos(x) + 2\|2 + 2) |--------- |-----------
| +-+ \| cos(x)
\|2\|2 + 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-----------+
+-+4+-+ +-+4+-+ |2sin(x) - 2
(2\|2 \|2 cos(x) + 2\|2 \|2 ) |-----------
\| cos(x)
+
+---------+
| +-+
+-+ 4+-+ |2\|2 - 4
(- \|2 - 1)\|2 |---------
| +-+
\|2\|2 - 3
*
log
+-+ 3 +-+ 2
(48\|2 + 68)cos(x) + (48\|2 + 68)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 192\|2 - 272)cos(x) - 192\|2 - 272
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 144\|2 - 204)cos(x) + (- 144\|2 - 204)cos(x)
+
+-+ +-+
(192\|2 + 272)cos(x) + 192\|2 + 272
*
+-----------+2
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(29\|2 + 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 58\|2 - 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 116\|2 - 164)\|2 cos(x)
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 4 +-+ 4+-+ 3
(- 29\|2 - 41)\|2 cos(x) + (- 87\|2 - 123)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2 +-+ 4+-+
(58\|2 + 82)\|2 cos(x) + (116\|2 + 164)\|2 cos(x)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
|2\|2 + 4 |- cos(x) - 1 |2sin(x) - 2
|--------- |------------ |-----------
| +-+ \| cos(x) \| cos(x)
\|2\|2 + 3
+
+-+ 4+-+ 3 +-+ 4+-+ 2
(24\|2 + 34)\|2 cos(x) + (24\|2 + 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+
(- 96\|2 - 136)\|2 cos(x) + (- 96\|2 - 136)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(- 72\|2 - 102)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2 +-+ 4+-+
(- 72\|2 - 102)\|2 cos(x) + (96\|2 + 136)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(96\|2 + 136)\|2
*
+---------+
| +-+
|2\|2 + 4
|---------
| +-+
\|2\|2 + 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+2 3 +-+ 4+-+2 2
(48\|2 + 68)\|2 cos(x) + (48\|2 + 68)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(- 192\|2 - 272)\|2 cos(x) + (- 192\|2 - 272)\|2
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+2 3 +-+ 4+-+2 2
(- 144\|2 - 204)\|2 cos(x) + (- 144\|2 - 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(192\|2 + 272)\|2 cos(x) + (192\|2 + 272)\|2
/
+-+ 3 +-+ 2
(12\|2 + 17)cos(x) + (12\|2 + 17)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 48\|2 - 68)cos(x) - 48\|2 - 68
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 36\|2 - 51)cos(x) + (- 36\|2 - 51)cos(x)
+
+-+ +-+
(48\|2 + 68)cos(x) + 48\|2 + 68
+
+---------+
| +-+
+-+ 4+-+ |2\|2 - 4
(\|2 + 1)\|2 |---------
| +-+
\|2\|2 - 3
*
log
+-+ 3 +-+ 2
(48\|2 + 68)cos(x) + (48\|2 + 68)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 192\|2 - 272)cos(x) - 192\|2 - 272
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 144\|2 - 204)cos(x) + (- 144\|2 - 204)cos(x)
+
+-+ +-+
(192\|2 + 272)cos(x) + 192\|2 + 272
*
+-----------+2
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+ 3
(29\|2 + 41)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2
(- 58\|2 - 82)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+
(- 116\|2 - 164)\|2 cos(x)
*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 4 +-+ 4+-+ 3
(- 29\|2 - 41)\|2 cos(x) + (- 87\|2 - 123)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ 2 +-+ 4+-+
(58\|2 + 82)\|2 cos(x) + (116\|2 + 164)\|2 cos(x)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
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+
+-+ 4+-+ 3
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+
+-+ 4+-+ 2
(- 24\|2 - 34)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+
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*
sin(x)
+
+-+ 4+-+ 3 +-+ 4+-+ 2
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+
+-+ 4+-+ +-+ 4+-+
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*
+---------+
| +-+
|2\|2 + 4
|---------
| +-+
\|2\|2 + 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
4|-----------
\| cos(x)
+
+-+ 4+-+2 3 +-+ 4+-+2 2
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+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
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*
sin(x)
+
+-+ 4+-+2 3 +-+ 4+-+2 2
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+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
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/
+-+ 3 +-+ 2
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+
+-+ +-+
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*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
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+
+-+ +-+
(48\|2 + 68)cos(x) + 48\|2 + 68
+
+---------+
| +-+
+-+ 4+-+ |2\|2 + 4
(\|2 + 1)\|2 |---------
| +-+
\|2\|2 + 3
*
log
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+
+-+ +-+
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*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
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+
+-+ +-+
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*
+-----------+2
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+
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+
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+
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*
sin(x)
+
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+
+-+ 4+-+ 2 +-+ 4+-+
(58\|2 - 82)\|2 cos(x) + (116\|2 - 164)\|2 cos(x)
*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
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+
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*
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+
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+
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+
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*
+---------+
| +-+
|2\|2 - 4
|---------
| +-+
\|2\|2 - 3
*
+-----------+
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+
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+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
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sin(x)
+
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+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
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+
+-+ +-+
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*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
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+
+-+ +-+
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+---------+
| +-+
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\|2\|2 + 3
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+
+-+ +-+
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sin(x)
+
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+
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sin(x)
+
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+
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+---------+
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+
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+
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sin(x)
+
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+
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*
+---------+
| +-+
|2\|2 - 4
|---------
| +-+
\|2\|2 - 3
*
+-----------+
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+
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*
sin(x)
+
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+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
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+
+-+ +-+
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sin(x)
+
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+
+-+ +-+
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+---------+
| +-+
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| +-+
\|2\|2 + 3
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log
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+
+-+ +-+
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+
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+
+-+ +-+
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sin(x)
+
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+
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+---------+
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+
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+
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+
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+---------+
| +-+
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|---------
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*
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+
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+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
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+-+ 3 +-+ 2
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+
+-+ +-+
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*
sin(x)
+
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+
+-+ +-+
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+
+---------+
| +-+
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| +-+
\|2\|2 + 3
*
log
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+
+-+ +-+
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sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
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+
+-+ +-+
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+
+-+ 4+-+ 2 +-+ 4+-+
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*
sin(x)
+
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+
+-+ 4+-+ 2 +-+ 4+-+
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*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
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+
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sin(x)
+
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+
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*
+---------+
| +-+
|2\|2 - 4
|---------
| +-+
\|2\|2 - 3
*
+-----------+
|2sin(x) - 2
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+
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+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
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+-+ 3 +-+ 2
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+
+-+ +-+
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sin(x)
+
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+
+-+ +-+
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+---------+
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\|2\|2 - 3
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log
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+-+ +-+
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sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
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+-+ +-+
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+
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*
+---------+
| +-+ +------------+ +-----------+
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+
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+
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+---------+
| +-+
|2\|2 + 4
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\|2\|2 - 3
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sin(x)
+
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sin(x)
+
+-+ 4+-+2 3 +-+ 4+-+2 2
(- 144\|2 - 204)\|2 cos(x) + (- 144\|2 - 204)\|2 cos(x)
+
+-+ 4+-+2 +-+ 4+-+2
(192\|2 + 272)\|2 cos(x) + (192\|2 + 272)\|2
/
+-+ 3 +-+ 2
(12\|2 + 17)cos(x) + (12\|2 + 17)cos(x)
+
+-+ +-+
(- 48\|2 - 68)cos(x) - 48\|2 - 68
*
sin(x)
+
+-+ 3 +-+ 2
(- 36\|2 - 51)cos(x) + (- 36\|2 - 51)cos(x)
+
+-+ +-+
(48\|2 + 68)cos(x) + 48\|2 + 68
/
+---------+ +---------+
| +-+ | +-+
+-+ |2\|2 - 4 |2\|2 + 4
(2\|2 + 2) |--------- |---------
| +-+ | +-+
\|2\|2 - 3 \|2\|2 + 3

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Waldek Hebisch
hebisch@math.uni.wroc.pl