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Topic: Matheology § 295
Replies: 24   Last Post: Jun 30, 2013 3:32 PM

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Re: Matheology § 295
Posted: Jun 28, 2013 6:12 AM
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On Friday, 28 June 2013 11:48:16 UTC+2, fom wrote:
> On 6/28/2013 3:53 AM, wrote: > On Friday, 28 June 2013 03:39:04 UTC+2, fom wrote: >> by the way, a Cantorian "theory of ones" is not a "strokes-as-numerals" representation of number > > It is precisely the same! For all cardinals. (In Germany the 1 differs a bit from a simple stroke, not in England, by the way.) Zermelo criticized Cantor's attitude.

> Wrong again.

Please spare your patronizing attitude if you wish to get any further answers from me!

> Cantor insisted that numbers were sets.

Cantor insisted that sets exist. Numbers, colours, sounds, atoms, whatevers can be elements of sets. When investigating the *cardinality* of a set, the elements get ones, he said.

> Consequently, the identity of numbers is related to the axiom of extensionality.

Cantor constructed, without any axioms, the natural numbers in his 1895 review-article:

Die endlichen Kardinalzahlen.

Einem einzelnen Ding e0, wenn wir es unter den Begriff einer Menge E0 = (e0) subsumieren, entspricht als Kardinalzahl das, was wir "Eins" nennen und mit 1 bezeichnen; wir haben

1 = E0. (1)
Man vereinige nun mit E0 ein anderes Ding e1, die Vereinigungsmenge heiße E1, so daß

E1 = ( E0, e1) = (e0, e1). (2)

Die Kardinalzahl von E1 heißt "Zwei" und wird mit 2 bezeichnet:

2 = E1. (3)

Durch Hinzufügung neuer Elemente erhalten wir die Reihe der Mengen

E2 = (E1, e2), E3 = (E2, e3), . . . ,

welche in unbegrenzter Folge uns sukzessive die übrigen, mit 3, 4, 5, . . . bezeichneten, sogenannten endlichen Kardinalzahlen liefern. Die hierbei vorkommende hilfsweise Verwendung derselben Zahlen als Indizes rechtfertigt sich daraus, daß eine Zahl erst dann in dieser Bedeutung gebraucht wird, nachdem sie als Kardinalzahl definiert worden ist.

Regards, WM

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