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Topic: [Snark] Pro: Más 1 es cuadrado
Replies: 8   Last Post: Apr 12, 2014 5:53 PM

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ilarrosa@mundo-r.com

Posts: 652
Registered: 12/6/04
Re: [Snark] Pro: Más 1 es cuadrado
Posted: Apr 12, 2014 3:18 PM
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El 12/04/2014 17:33, Paco Moya escribió:
>
> Hola a todxs.
> Me han pasado este problemita:
> El número 48 cumple que 48 + 1 =49 es un cuadrado y que 48:2 + 1 = 25
> también lo es.
> ¿Habrá más números que cumplan esto?
> Saludos.
>


Sea m la raíz cuadrada del primer número. Se trata entonces de que:

(m^2 + 1)/2 = n^2 ===>

m^2 - 2n^2 = -1

Esta es una ecuación difántica cuadrática de tipo Pell, que si tiene
alguna solución tiene infinitas. Y son muy fáciles de hallar en este
caso. El primer miembro se puede descomponer así:


(m - rq(2)n)(m + rq(2)n) = -1

Si conocemos una solución y elevamos ambos lados de la ecuación a una
potencia impar, tendremos una nueva solución. Como

(1 - rq(2))(1 + rq(2)) = -1

la solucíón mínima con m, n > 0 es (m, n) = (1, 1). Elevando al
cuadrado, tenemos:

(1 - rq(2))^2(1 + rq(2))^2 = 1

(3 - 2rq(2))(3 + 2rq(2)) = 1

por lo que (m, n) = (3, 2) es la mínima solución de la ecuación estándar
de Pell x^2 - 2y^2 = 1. Elevando esta ecuación a cualquier exponente
tendremos otra. Combinando ambas cosas,

(1 - rq(2))(3 - rq(2))^k(1 + rq(2))(3 + 2rq(2))^k = - 1, para todo k

Llamando (m(0), n(0)) = (1, 1) a la solución mínima, tenemos que las
demás cumpliran

m(k) + n(k)rq(2) = (1 + rq(2))(3 + 2rq(2))^k = (3 + 2rq(2))(m(k-1) +
rq(2)n(k-1))

Lo que nos da las relaciones de recurrencia:

m(k) = 3m(k-1) + 4n(k-1)
n(k) = 2m(k-1) + 3n(k-1)

Obtengamos recurrencias separadas. Aumentando k en 1 en la primera,

m(k+1) = 3m(k) + 4n(k) = 3m(k) + 4(2m(k-1) + 3n(k-1)) = 3m(k) + 8m(k-1)
+ 12n(k-1)

Despejando en la primera,

4n(k-1) = m(k) - 3m(k-1)

que sustituyendo en la segunda, da

m(k+1) = 3m(k) + 8m(k-1) + 3m(k) - 9m(k-1) ===>

m(k+1) = 6m(k) - m(k-1)

Igualmente se obtiene la misma relación para las n(k):

n(k+1) = 6n(k) - n(k-1)

Como la siguiente solución es

m(1) + n(1)rq(2) = (1 + rq(2))(3 + 2rq(2))^1 = (3 + 2rq(2))(m(0) +
rq(2)n(0))

= (3 + 2rq(2))(1 + rq(2)) = 7 + 5rq(2)

tenemos la recurrencia completa para las m(k) y n(k):

m(k+1) = 6m(k) - m(k-1), m(0) = 1, m(1) = 7 ===>

m(k): 1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, 275807, 1607521, 9369319,
54608393, 318281039, ...

n(k): 1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461, 195025, 1136689, 6625109,
38613965, 225058681, ...

También pueden obtenerse fórmulas explícitas para m(k) y n(k).
Suponiendo un comportamiento exponencial para ambos,

m(k) ~ r^k, n(k) ~ r^k, sustituyendo en la relación de recurrencia y
simplificando, se obtiene la ecuación característica:

r^2 - 6r + 1 = 0

cuyas soluciones son, lógicamente

r = (6 +/- rq(36 - 4))/2 = 3 +/- 2rq(2)

Entonces,

m(k) = A(3 - 2rq(2))^k + B(3 + rq(2))^k

Para k = 0, k = 1 queda

1 = A + B
7 = A(3 - 2rq(2)) + B(3 + rq(2)) ===>

A = (1 - rq(2))/2, B = (1 + rq(2))/2

m(k) = ((1 - rq(2))/2)(3 - 2rq(2))^k + ((1 + rq(2))/2)(3 + rq(2))^k

= (1/2)((rq(2) + 1)^(2k + 1) - (rq(2) - 1)^(2k + 1))

expresión que resulta entera para todo k entero, aunque no lo parezca
... igualmente,

n(k) = m(k) = ((2 - rq(2))/4)(3 - 2rq(2))^k + ((2 + rq(2))/4)(3 + rq(2))^k

= (rq(2)/4)((rq(2) + 1)^(2k + 1) + (rq(2) - 1)^(2k + 1))

Fórmulas menos útiles posiblemente que las relaciones de recurrencia.



--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosa@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/

_______________________________________
Snark
Más información en http://www.snarkianos.com
http://mailman.uba.ar/mailman/listinfo/snark




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