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Topic: [Snark] Pro: Más 1 es cuadrado
Replies: 8   Last Post: Apr 12, 2014 5:53 PM

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Paco Moya

Posts: 64
Registered: 10/12/12
Re: [Snark] Pro: Más 1 es cuadrado
Posted: Apr 12, 2014 5:53 PM
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att1.html (4.9 K)

Ignacio, de aquí a un mes te contesto razonadamente :-)))


El 12 de abril de 2014, 21:18, Ignacio Larrosa Cañestro <
ilarrosa@mundo-r.com> escribió:

> El 12/04/2014 17:33, Paco Moya escribió:
>
>

>> Hola a todxs.
>> Me han pasado este problemita:
>> El número 48 cumple que 48 + 1 =49 es un cuadrado y que 48:2 + 1 = 25
>> también lo es.
>> ¿Habrá más números que cumplan esto?
>> Saludos.
>>
>>

> Sea m la raíz cuadrada del primer número. Se trata entonces de que:
>
> (m^2 + 1)/2 = n^2 ===>
>
> m^2 - 2n^2 = -1
>
> Esta es una ecuación difántica cuadrática de tipo Pell, que si tiene
> alguna solución tiene infinitas. Y son muy fáciles de hallar en este caso.
> El primer miembro se puede descomponer así:
>
>
> (m - rq(2)n)(m + rq(2)n) = -1
>
> Si conocemos una solución y elevamos ambos lados de la ecuación a una
> potencia impar, tendremos una nueva solución. Como
>
> (1 - rq(2))(1 + rq(2)) = -1
>
> la solucíón mínima con m, n > 0 es (m, n) = (1, 1). Elevando al cuadrado,
> tenemos:
>
> (1 - rq(2))^2(1 + rq(2))^2 = 1
>
> (3 - 2rq(2))(3 + 2rq(2)) = 1
>
> por lo que (m, n) = (3, 2) es la mínima solución de la ecuación estándar
> de Pell x^2 - 2y^2 = 1. Elevando esta ecuación a cualquier exponente
> tendremos otra. Combinando ambas cosas,
>
> (1 - rq(2))(3 - rq(2))^k(1 + rq(2))(3 + 2rq(2))^k = - 1, para todo k
>
> Llamando (m(0), n(0)) = (1, 1) a la solución mínima, tenemos que las demás
> cumpliran
>
> m(k) + n(k)rq(2) = (1 + rq(2))(3 + 2rq(2))^k = (3 + 2rq(2))(m(k-1) +
> rq(2)n(k-1))
>
> Lo que nos da las relaciones de recurrencia:
>
> m(k) = 3m(k-1) + 4n(k-1)
> n(k) = 2m(k-1) + 3n(k-1)
>
> Obtengamos recurrencias separadas. Aumentando k en 1 en la primera,
>
> m(k+1) = 3m(k) + 4n(k) = 3m(k) + 4(2m(k-1) + 3n(k-1)) = 3m(k) + 8m(k-1) +
> 12n(k-1)
>
> Despejando en la primera,
>
> 4n(k-1) = m(k) - 3m(k-1)
>
> que sustituyendo en la segunda, da
>
> m(k+1) = 3m(k) + 8m(k-1) + 3m(k) - 9m(k-1) ===>
>
> m(k+1) = 6m(k) - m(k-1)
>
> Igualmente se obtiene la misma relación para las n(k):
>
> n(k+1) = 6n(k) - n(k-1)
>
> Como la siguiente solución es
>
> m(1) + n(1)rq(2) = (1 + rq(2))(3 + 2rq(2))^1 = (3 + 2rq(2))(m(0) +
> rq(2)n(0))
>
> = (3 + 2rq(2))(1 + rq(2)) = 7 + 5rq(2)
>
> tenemos la recurrencia completa para las m(k) y n(k):
>
> m(k+1) = 6m(k) - m(k-1), m(0) = 1, m(1) = 7 ===>
>
> m(k): 1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, 275807, 1607521, 9369319,
> 54608393, 318281039, ...
>
> n(k): 1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461, 195025, 1136689, 6625109, 38613965,
> 225058681, ...
>
> También pueden obtenerse fórmulas explícitas para m(k) y n(k). Suponiendo
> un comportamiento exponencial para ambos,
>
> m(k) ~ r^k, n(k) ~ r^k, sustituyendo en la relación de recurrencia y
> simplificando, se obtiene la ecuación característica:
>
> r^2 - 6r + 1 = 0
>
> cuyas soluciones son, lógicamente
>
> r = (6 +/- rq(36 - 4))/2 = 3 +/- 2rq(2)
>
> Entonces,
>
> m(k) = A(3 - 2rq(2))^k + B(3 + rq(2))^k
>
> Para k = 0, k = 1 queda
>
> 1 = A + B
> 7 = A(3 - 2rq(2)) + B(3 + rq(2)) ===>
>
> A = (1 - rq(2))/2, B = (1 + rq(2))/2
>
> m(k) = ((1 - rq(2))/2)(3 - 2rq(2))^k + ((1 + rq(2))/2)(3 + rq(2))^k
>
> = (1/2)((rq(2) + 1)^(2k + 1) - (rq(2) - 1)^(2k + 1))
>
> expresión que resulta entera para todo k entero, aunque no lo parezca ...
> igualmente,
>
> n(k) = m(k) = ((2 - rq(2))/4)(3 - 2rq(2))^k + ((2 + rq(2))/4)(3 + rq(2))^k
>
> = (rq(2)/4)((rq(2) + 1)^(2k + 1) + (rq(2) - 1)^(2k + 1))
>
> Fórmulas menos útiles posiblemente que las relaciones de recurrencia.
>
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosa@mundo-r.com
> http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/
>
>
> _______________________________________
> Snark
> Más información en http://www.snarkianos.com
> http://mailman.uba.ar/mailman/listinfo/snark
>
>

_______________________________________
Snark
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