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Triangolo Librandi e numeri primi
Posted:
Mar 23, 1999 2:29 AM
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Sia data la matrice triangolare Librandi del tipo:
3
6 11
9 16 23
12 21 30 39
15 26 37 48 59
= = = = = = = = = = =
definita da A[m,n]= 2mn+m+n-1 (con m, n interi e >=1)
Dopo aver posto A[m,n]=k (con k intero) si associa
al TdL l'espressione 2k+3, la quale, per ogni valore di
k che non appartiene al triangolo Librandi, genera sempre
numeri primi.
Esempi di k che non appartengono al TdL:
per k=0 ==> 2k+3=3
per k=1 ==> 2k+3=5
per k=2 ==> 2k+3=5
= = = = = = = = = = =
Se, invece, k appartiene al triangolo Librandi 2k+3 ÃÂè
uguale ad un numero composto equivalente a (2m+1)(2n+1).
Esempio:
per k=37 ==> 2k+3=77: per essere 37 posizionato in A[5,3]
ÃÂè: 77=(2*5+1)(2*3+1).
Una delle tante dimostrazioni per cui se k non appartiene al TdL
si ha sempre 2k+3= p (primo) ÃÂè la seguente:
"Un numero dispari d1 ÃÂè composto (non primo) se e solo se ÃÂè il
prodotto di due numeri dispari generici d2 e d3 diversi da 1" cioÃÂè sse
d1=d2*d3. Siccome un generico numero dispari diverso da 1 puÃÂò essere
scritto nella forma d(n)=2n+1 con n>=1,
segue che d1=2k+3 ÃÂè composto sse 2k+3=(2n+1)(2m+1) sse
2k+3=4mn+2m+2n+1 sse 2k=4mn+2m+2n-2 sse k=2mn+m+n-1 con n,m>=1
Riassumendo 2k+3 ÃÂè composto se e solo se k=2mn+m+n-1 con n,m>=1,
ovvero, 2k+3 ÃÂè primo se e solo se non appartiene al TdL associato a
2k+3.ÃÂÃÂ
Gli studi sul triangolo Librandi sono aperti per cercare un metodo
"veloce" che stabilisca se un dato k appartiene o meno al TdL.
Ciao,
Vincenzo Librandi
vlibra@tin.it
Vale sempre per tutti l'invito di contattarmi.
Sorry for my italian language.
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