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Com: Mas probabilidades (tres puertas)
Posted:
Jul 21, 1997 10:33 AM
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Snarkianos:
Este es el desconcertante problema propuesto por Juan Miguel Vilar:
En un concurso de televisión, se presentan al concursante tres puertas.
Dos de ellas no tienen nada detrás y en la otra se gana un maravilloso
coche deportivo. El concursante elige una puerta y el presentador, antes
de abrir la puerta elegida y para darle más emoción al juego, abre otra
puerta, que no tiene nada detrás. Naturalmente, el presentador sabe
dónde está el coche, asàque siempre puede abrir la puerta que no lo
tiene. Tras abrir la puerta, pregunta al concursante si mantiene su
decisión o prefiere cambiarla. Y la cuestión es, ÿmerece la pena cambiar
o no varÃÂa en nada la situación?
En un principio, me dije: despues de abrir el presentador una puerta quedan
otras dos, una con el coche y otra sin nada (o con una cabra, en la verson
de MathForum); como el coche se ha puesto detras de una puerta cualquiera,
es indiferente cual elija el concursante, asi que no merece la pena
cambiar. Fue, mas o menos, el mismo razonamiento de Pablo GM, y creo que
casi todo el mundo que no conozca de antemano el problema contestara lo
mismo (haced la prueba con los amiguetes). La lectura atenta y perpleja de
la pagina Web apuntada por Sarah Seastone (parece que el "Un, dos tres..."
tambien llego a los EEUU) me hizo comprender, aunque a rega~nadientes,
que EN REALIDAD CONVIENE CAMBIAR DE PUERTA. Una buena explicacion la mando
Ariel Bendersky, y en la pagina que nos descubrio Sarah se comenta amplia y
convincentemente el problema, dandose incluso punteros a simuladores. !Nada
como ver para creer! En cualquier caso, por si alguien no tiene acceso a la
WWW o tiene todavia mas dificultades con el ingles que yo (lo cual es
realmente dificil), una explicacion puede ser:
- Si la estrategia seguida es no cambiar, nos llevaremos el coche una vez
de cada tres, que es la probabilidad de haber elegido el coche desde un
principio.
- Si la estrategia seguida es cambiar de puerta, NOS QUEDAREMOS SIN COCHE
una vez de cada tres, ya que solo se dara este caso si inicialmente lo
habiamos elegido. De manera que ganaremos el coche en dos casos de cada
tres.
Si alguien no esta convencido, que experimente con algun sufrido amigo o
familiar (!yo lo hice!).
En cuanto al "contraejemplo" de Enrique:
Si hubiera 10.000 puertas y el presentador te muestra 9.998, aparte de
quedar agotado, ?solo tendrias 1/10.000 probabilidades si no cambias de
puerta y 9.999/10.000 si cambias?
la respuesta es !!!SI!!! Enrique, piensalo asi: si no cambias de puerta, en
nada varia la situacion que te abran 1, 2, o 9998 puertas, el coche seguira
estando en su sitio si tuviste la suerte de dar con el desde un principio,
y si no estaba, no va a aparecer ahora por arte de magia (por el momento no
usare la hipotesis de los forzudos de Pablo). Asi que la triste
probabilidad del empecinado concursante es 1/10.000. Y necesariamente, como
el coche esta en algun sitio, la puerta que queda tiene una probabilidad de
9.999/10.000.
Muy bien, ahora estoy convencido de que realmente conviene cambiar de
puerta. Pero necesito mas. Necesito reconciliar este convencimiento con la
irresistible percepcion de que si quedan dos puertas, y ambas pueden
esconder el premio, es indiferente elegir una u otra. Intentare este
camino: parece que el error que cometemos es pensar que la situacion "dos
puertas, cualquiera de las cuales puede esconder un coche" es equivalente a
la situacion "dos puertas, ambas con la misma probabilidad de esconder un
coche". Al principio, las tres puertas eran equivalentes, pero despues de
la espectacular actuacion del presentador, las dos puertas NO son
equivalentes: ambas pueden esconder el coche, pero una de ellas tiene mas
probabilidades de hacerlo: ha "heredado" la probabilidad de la puerta
abierta por el presentador. Es como si desde el principio se le ofreciera
al concursante dos puertas, una con 1/3 de probabilidad de esconder el
coche, y otra con 2/3. Este seria el caso, por ejemplo, si hubiera dos
puertas rojas y una verde, y los organizadores del concurso, despues de
esconder el coche en una puerta elegida al azar, suprimieran una puerta
roja: quedaria una puerta roja y otra verde, ambas pueden tener detras el
premio, !pero la roja tiene el doble de probabilidad que la verde! Me quedo
UN POCO mas tranquilo.
Saludos
Rodolfo Valeiras
mailto:rvr@spa.es
http://www.spa.es/~rvr
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