Jos
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1/30/05
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Re: [Snark] PRO: reparto cíclico
Posted:
Feb 21, 2013 7:29 AM
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Supongamos que hay n cartas y k jugadores numerados 1, 2,..., k
en sentido horario akrededor de la mesa. Tomaremos los números de
jugador módulo k, es decir que el k+1 es el musmo 1, etc.
Supongamos para fijar ideas que el jugador que reparte lo hace
siempre comenzando por el que tiene a su izquierda, y continúa
en sentido horario. Llamemos "configuración" a una k+1-upla
(i, c_1, c_2,..., c_k), donde i es el número del jugador al que le
toca repartir y c_j es el número de cartas que tiene el jugador j
(debe cumplirse 1<=i<=k, c_j>=0 y suma c_j = n).
Así la configuración inicial es (1, n, 0,..., 0).
Sea T la transformación que lleva cada configuración a la siguiente.
Como el número de configuraciones posibles es finito, en la sucesión
que se genera al aplicar T en forma sucesiva debe repetirse alguna
por primera vez. La clave está en que T es inyectiva. Entonces, a
partir de la primera que se repita, yendo hacia atrás se debe llegar
a la inicial, y listo. laro que la situación de todas las cartas en
una persona pudo presentarse antes, pero siempre se presentará al
repetirse la configuración inicial.
Para ver que T es inyectiva basta ver que dada una configuración
C'=(i', c'_1,..., c'_k) puede reconstruirse, de manera única,
la anterior C=(i, c_1,..., c_k) (eso lo dejo como ejercicio).
Saludos,
jhn
El 21 de febrero de 2013 06:15, Marcos <marcosd@gmail.com> escribió:
> Precaución: la cantidad de repartos necesarios para que las cartas vuelvan
> a juntarse (no es necesario que sea en el primer jugador) varía bastante
> caóticamente con la cantidad de jugadores y/o cartas, y alcanza a veces
> valores bastante grandes. Si vas a hacer experimentos, te recomiendo usar
> una computadora para evitar calambres :)
>
> Salute
> Marq
>
>
>
> 2013/2/21 Jesus Sanz <jesanz47@yahoo.es>
>
>> Despues de darle unas vueltas a algunos casos, parece que si quien recibe
>> el mazo completo continúa, después de más vueltas lo recibe otro, y luego
>> otro.... hasta que al recibirlo uno y repartir las cartas reproduce el
>> estado inicial. Si es así, se llegaría a la solución desde cualquiera de
>> las posiciones de los ciclos.
>> Pero no veo como demostrar que lo anterior pasa siempre, y no hay "ciclos
>> cortos".... Así que daré más vueltas, tanto mentalmente como con las
>> propias cartas.
>>
>>
> --
> Persevera y perseverarás
>
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