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Math Forum » Discussions » Math Topics » Snark

Topic: [Snark] PRO: reparto cíclico
Replies: 9   Last Post: Feb 25, 2013 6:47 PM

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Marcos

Posts: 103
Registered: 12/24/07
Re: [Snark] PRO: reparto cíclico
Posted: Feb 21, 2013 8:34 AM
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att1.html (4.4 K)

Impecable razonamiento, José.


2013/2/21 José H. Nieto <jhnieto@gmail.com>

> Supongamos que hay n cartas y k jugadores numerados 1, 2,..., k
> en sentido horario akrededor de la mesa. Tomaremos los números de
> jugador módulo k, es decir que el k+1 es el musmo 1, etc.
> Supongamos para fijar ideas que el jugador que reparte lo hace
> siempre comenzando por el que tiene a su izquierda, y continúa
> en sentido horario. Llamemos "configuración" a una k+1-upla
> (i, c_1, c_2,..., c_k), donde i es el número del jugador al que le
> toca repartir y c_j es el número de cartas que tiene el jugador j
> (debe cumplirse 1<=i<=k, c_j>=0 y suma c_j = n).
> Así la configuración inicial es (1, n, 0,..., 0).
> Sea T la transformación que lleva cada configuración a la siguiente.
> Como el número de configuraciones posibles es finito, en la sucesión
> que se genera al aplicar T en forma sucesiva debe repetirse alguna
> por primera vez. La clave está en que T es inyectiva. Entonces, a
> partir de la primera que se repita, yendo hacia atrás se debe llegar
> a la inicial, y listo. laro que la situación de todas las cartas en
> una persona pudo presentarse antes, pero siempre se presentará al
> repetirse la configuración inicial.
> Para ver que T es inyectiva basta ver que dada una configuración
> C'=(i', c'_1,..., c'_k) puede reconstruirse, de manera única,
> la anterior C=(i, c_1,..., c_k) (eso lo dejo como ejercicio).
>
>
> Saludos,
>
> jhn
>
> El 21 de febrero de 2013 06:15, Marcos <marcosd@gmail.com> escribió:
>

>> Precaución: la cantidad de repartos necesarios para que las cartas
>> vuelvan a juntarse (no es necesario que sea en el primer jugador) varía
>> bastante caóticamente con la cantidad de jugadores y/o cartas, y alcanza a
>> veces valores bastante grandes. Si vas a hacer experimentos, te recomiendo
>> usar una computadora para evitar calambres :)
>>
>> Salute
>> Marq
>>
>>
>>
>> 2013/2/21 Jesus Sanz <jesanz47@yahoo.es>
>>

>>> Despues de darle unas vueltas a algunos casos, parece que si quien
>>> recibe el mazo completo continúa, después de más vueltas lo recibe otro, y
>>> luego otro.... hasta que al recibirlo uno y repartir las cartas reproduce
>>> el estado inicial. Si es así, se llegaría a la solución desde cualquiera de
>>> las posiciones de los ciclos.
>>> Pero no veo como demostrar que lo anterior pasa siempre, y no hay
>>> "ciclos cortos".... Así que daré más vueltas, tanto mentalmente como con
>>> las propias cartas.
>>>
>>>

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>> Persevera y perseverarás
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>> Snark
>> Más información en http://www.snarkianos.com
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