Resolución Algebraica de la cinemática inversa para la clase PR

Introducimos coordenadas fijando un sistema de referencia universal, que podemos suponer, sin perder generalidad, con origen en el punto base O. Denotaremos por (a,b) a las coordenadas de Q, por d a la longitud medida en la articulación prismática, y por q2 al ángulo correspondiente al motor rotacional, medido desde el eje X positivo hasta el segundo segmento del robot, en sentido CCW. Las ecuaciones que ligan el punto extremo Q=(a,b) y los parámetros d y q2, es decir, las ecuaciones cinemáticas del manipulador PR, son:

a=L1+d+L2cos(q2)
b=L2sin(q2)

Manipulando estas ecuaciones conseguimos "despejar" los parámetros de los motores en función del punto (a,b), obteniendo las siguientes expresiones, que representan la solución algebraica al Problema Cinemático Inverso:
sin(q2)=b/L2,
cos(q2)=±(sqrt(L22-b2))/L2,
d=a-L1-L2cos(q2).
Analizando esta respuesta observamos que hay dos valores posibles para el ángulo q2, y cada uno de ellos proporciona un único valor a la longitud d, excepto en los casos en que L22=b2. Observamos también que estas expresiones nos proporcionan soluciones reales sólo para los puntos (a,b) que verifiquen las condiciones:
0 <= a-L1 ± sqrt(L22-b2) <= L1,
-L2 <= b <= L2

Estas condiciones determinan el número de configuraciones con las que un punto Q es alcanzable (recuérdese la figura que representa el conjunto de puntos alcanzables para esta clase).

Los puntos especiales en los que el número de soluciones al problema cinemático inverso es distinto de 2 corresponden a puntos en los que la matriz jacobiana de la aplicación:

(d,q2) ----> L1+d+L2cos(q2), L2sin(q2)

no tiene rango máximo; de ahí su denominación de puntos singulares.


Resolución Algebraica del seguimiento de trayectorias para la clase PR

Dada una trayectoria T del punto Q, bastará parametrizar T con un parámetro t en un determinado intervalo, por ejemplo [0,1]:

T:[0,1]---->IR2
t---->(a(t),b(t))
y hacer depender las expresiones solución obtenidas para (a,b) de dicho parámetro (véanse las expresiones siguientes). Fijar una configuración (codo arriba/abajo) corresponde a elegir un signo en la expresión del coseno del ángulo q2.
sin(q2(t))=b(t)/L2,
cos(q2(t))=±(sqrt(L22-b(t)2))/L2,
d(t)=a(t)-L1-L2cos(q2(t)).

Las trayectorias que merecen un tratamiento especial son aquellas que contienen al menos un punto alcanzable sólo con configuración de codo arriba y otro alcanzable sólo con configuración de codo abajo. Si una trayectoria en estas condiciones posee puntos en los que es posible cambiar de configuración (es decir, puntos en los que L22=b2) entonces la trayectoria puede realizarse cambiando de configuración, como se muestra en la siguiente trayectoria circular (véase la correspondiente figura):

a(t):=3L1/2 + L2 cos alpha(t)
b(t)=L2 sin alpha(t).
donde alpha(t) recorre el intervalo [0,2Pi), cuyo seguimiento es:
q2(t)=alpha(t),
d(t)=L1/2.
El hecho remarcable es que no es posible simular este levantamiento utilizando la construcción geométrica realizada en Cabri-Géomètre, debido a que no es posible reflejar en ella el cambio de configuración.

En otro caso, es decir, si la trayectoria no posee puntos en los que sea posible cambiar de configuración, entonces no es realizable por el robot, como ocurre en la trayectoria recta (a(t),b(t))=(5(t+1),1), t en [0,1], para longitudes de los brazos L1=5 y L2=2 (véase la correspondiente figura). El extremo izquierdo (5,1) de la trayectoria sólo es alcanzable cuando se toma signo negativo en la raiz al calcular cos(q2), es decir, sólo es alcanzable con valores q2=150° y d=sqrt(3), ya que en el otro caso obtendríamos d negativa. Análogamente, el extremo derecho (10,1) de la trayectoria es alcanzable sólo con el signo positivo en el coseno, es decir, con los valores q2=30° y d=5-sqrt(3). Para que la trayectoria q2(t) en el ángulo sea continua, debe pasar de 150° a 30°, lo que implica que debe pasar por 90° ó por -90°, pero esto es imposible, pues estos valores corresponden a b=2 ó b=-2, y en toda nuestra trayectoria se tiene b=1.


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