Resolución Algebraica de la cinemática inversa para la clase RP

Introducimos coordenadas fijando un sistema de referencia universal, que podemos suponer, sin perder generalidad, con origen en el punto base O. Denotaremos por (a,b) a las coordenadas de Q, por q1 al ángulo correspondiente al motor rotacional, medido desde el eje X positivo hasta el primer segmento del robot, en sentido CCW, y por d a la longitud medida en la articulación prismática (recuérdese la figura). Las ecuaciones que ligan el punto extremo Q=(a,b) y los parámetros q1 y d, es decir, las ecuaciones cinemáticas del manipulador RP, son:

a=(L1+L2+d) cos(q1)
b=(L1+L2+d) sin(q1)

Manipulando estas ecuaciones conseguimos "despejar" los parámetros de los motores en función del punto (a,b), obteniendo las siguientes expresiones, que representan la solución algebraica al Problema Cinemático Inverso:
d= -L1-L2+sqrt(a2+b2)
sin q1=b/sqrt(a2+b2)
cos q1 = a/sqrt(a2+b2)
Por tanto hay una única solución al Problema Cinemático Inverso para los puntos alcanzables (que se obtienen imponiendo la restricción de que 0 <= d <= L2, es decir, L1+L2 <= sqrt(a2+b2) <= L1+2L2).

La matriz jacobiana de la aplicación:

(q1,d) ----> (L1+L2+d) cos(q1), (L1+L2+d) sin(q1))

tiene siempre rango máximo (2) en el conjunto de valores en que está definida, por lo que no hay puntos singulares.


Resolución Algebraica del seguimiento de trayectorias para la clase RP

Dada una trayectoria T del punto Q, bastará parametrizar T con un parámetro t en un determinado intervalo, por ejemplo [0,1]:

T:[0,1]---->IR2
t---->(a(t),b(t))
y hacer depender las expresiones solución obtenidas para (q1,d) de dicho parámetro, como se indica en las expresiones siguientes, en las que no hay discontinuidad, dada la ausencia de singularidades:

d(t)= -L1-L2+sqrt(a(t)2+b(t)2)
sin q1(t)=b(t)/sqrt(a(t)2+b(t)2)
cos q1(t) = a(t)/sqrt(a(t)2+b(t)2).


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