Resolución Algebraica de la cinemática inversa para la clase RR

Introducimos coordenadas fijando un sistema de referencia universal, que podemos suponer, sin perder generalidad, con origen en el punto base O. Denotaremos por (a,b) a las coordenadas de Q, mediremos el ángulo q1, correspondiente al primer motor, en sentido CCW desde el eje X positivo hasta el primer segmento, y el ángulo q2, correspondiente al segundo motor, desde la prolongación del primer segmento hasta el segundo, también en sentido CCW. Las ecuaciones que ligan el punto extremo Q=(a,b) y los ángulos q1 y q2, es decir, las ecuaciones cinemáticas del manipulador 2R, son:

a=L1cos q1+L2cos(q1+q2)
b=L1sin q1+L2sin(q1+q2)

Manipulando estas ecuaciones conseguimos "despejar" los ángulos en función del punto (a,b), obteniendo las siguientes expresiones, que representan la solución algebraica al Problema Cinemático Inverso:
cos q2 = (a2+b2-L12-L22)/(2L1L2)
q1 = arctan(b,a)-arctan( L2sin q2, L1+L2cos q2)
donde arctan(m,n) denota el ángulo alpha tal que
sin alpha=m/sqrt(m2+n2),
cos alpha=n/sqrt(m2+n2).
y no está definido si m2+n2=0. Analizando esta respuesta observamos que para el ángulo q2 obtenemos sólo la expresión de su coseno, lo que permite dos soluciones (q2 y -q2), excepto en los casos en que q2=-q2. Cada uno de estos valores para q2 nos da un único valor para q1. Observamos también que estas expresiones nos proporcionan soluciones reales sólo para puntos (a,b) que verifican la condición:
(L1-L2)2 <= a2+b2<= (L1+L2)2

que se obtiene de imponer -1<= cos q2<= 1. Esto implica, en particular, que el extremo del manipulador puede alcanzar el punto O=(0,0) si y sólo si L1=L2. En este caso, para el que la solución algebraica dada no está definida, tenemos que q1 puede tomar cualquier valor y q2=Pi. Los puntos especiales en los que el número de soluciones al problema cinemático inverso es distinto de 2 corresponden a puntos en los que la matriz jacobiana de la aplicación:
(q1,q2) ----> (L1cosq1+L2cos(q1+q2),L1sinq1+L2sin(q1+q2)

no tiene rango máximo; de ahí su denominación de puntos singulares.


Resolución Algebraica del seguimiento de trayectorias para la clase RR

Dada una trayectoria T del punto Q, bastará parametrizar T con un parámetro t en un determinado intervalo, por ejemplo [0,1]:

T:[0,1]---->IR2
t---->(a(t),b(t))
y hacer depender las expresiones solución obtenidas para (q1,q2) de dicho parámetro (véanse las expresiones siguientes). Elegir una de las dos posibles configuraciones -codo arriba y codo abajo- que existen para describir la trayectoria corresponde a fijar en el segundo ángulo el signo del seno. Si elegimos la determinación positiva obtenemos:
q2(t)=arctan(sin q2(t),cos q2(t)), donde
cos q2(t) = (a(t)2+b(t)2-L12-L22)/(2L1L2),
sin q2(t)=+sqrt{1-cos 2q2(t),
q1(t) =arctan(b(t),a(t))-arctan(L2sin q2(t), L1+L2cos q2(t))
El paso del manipulador por puntos singulares en los que hay una única solución al Problema Cinemático Inverso se refleja en que sin q2=0, y esto no produce ninguna discontinuidad en las expresiones obtenidas. Pero veamos lo que ocurre cuando T pasa por (0,0): para ello los dos segmentos deben tener la misma longitud, y por simplicidad pondremos L1=L2=2. Supondremos también que T es el segmento entre los puntos (1,1) and (-1,-1), que viene dado por la parametrización
g(t):=(2t-1,2t-1), t en [0,1].
Entonces, la trayectoria para el primer ángulo dada por la determinación positiva del signo es
q1(t) = arctan(2t-1,2t-1)-arctan( 2sin q2(t), 2(1+cos q2(t)))
donde cos q2(t) = ((2t-1)2-4)/4 y sin q2(t)=+sqrt(1-cos 2q2(t)). La aplicación q1(t) así obtenida no es continua en t=1/2, correspondiente a (0,0):
limt->(1/2)+ cos q1(t)= (sqrt 2)/2,
limt->(1/2)- cos q1(t)= -(sqrt 2)/2.
(Y ocurre lo mismo para sin q1(t)). Esto se refleja geométricamente en el salto del codo al pasar por O que observábamos en la resolución geométrica.

Algebraicamente podemos evitar este problema de continuidad considerando la determinación positiva de sin q2(t) cuando t pertenece a [0,1/2) y la negativa cuando t está en (1/2,1], pero esta nueva solución sería discontinua si tratásemos de seguir otra trayectoria que no pasase por O. En [Baker] se muestra la imposibilidad de encontrar una fórmula única para realizar el seguimiento de cualquier trayectoria recta, ya que se prueba que tal fórmula depende necesariamente de los puntos extremos de las trayectoria que se desea levantar. Por tanto no hay esperanza de encontrar una construcción geométrica única que resuelva el problema del seguimiento de trayectorias para robots de la clase RR (independiente de los puntos extremos de la trayectoria dada).


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