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Divisibilidad por 13 y
por números primos (13,17,19...)

Traducido del inglés y desarrollado por Pablo GM, Pamplona

Divisibility Rules || Rules for 3,9,11,7,13,17... || Alternate Test Method

De la lista SNARK:

From: "Pablo GM"
To: "Snark"
Subject: MSJ: De criterios de divisibilidad (13, 17 y 19)
Date: Sun, 9 Mar 1997 18:38:02 +0100

Para todo aquel que quiera aprovecharlos, he desarrollado los criterios de divisibilidad que envió Sarah Seastone (gracias Sarah).

Divisibilidad por 13:

Elimina el último dígito del número dado; a continuación resta nueve veces ese dígito al número obtenido. Si el resultado es divisible por 13, también lo es el número original. (Esta regla es recurrente; puede usarse sucesivamente tantas veces como se quiera hasta obtener un número que sepamos que es divisible por 13).

Ejemplo: 16312179

     1631217 - (9*9) = 1631136
      163113 - (6*9) =  163059
       16305 - (9*9) =   16224
        1622 - (4*9) =    1586
         158 - (6*9) =     104

que ya sabemos que es divisible por 13, por lo que 16312179 también lo es.

Divisibilidad por números primos (13, 17, 19...):

1. Divisibilidad por 13:

   Sea el número ABCDEFGHI. Tomando los dígitos de las unidades, decenas, centenas,... sumamos el producto de los mismos por los contenidos en la serie siguiente: 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, -3,... (la serie se repite de seis en seis elementos).

   Por ejemplo: 55041103 es divisible por 13:

           1*I     1*3
        (-3)*H    -3*0
        (-4)*G    -4*1
        (-1)*F    -1*1
           3*E     3*4
           4*D     4*0
           1*C     1*5
        (-3)*B    -3*5
        (-4)*A
        -------   ----
        = Suma       0     
   
   

   si esa suma es divisible por 13 (el 0 incluido), entonces ABCDEFGHI también.

   Ejemplo 2: 4233931 es divisible por 13?

       (1*1)-(3*3)-(4*9)-(1*3)+(3*3)+(4*2)+(1*4)=-26

2. Divisibilidad por 17:

   Se utiliza el mismo método descrito para el 13, pero ahora la serie a tener en cuenta es 1, -7, -2, -3, 4, 6, -8, 5, -1, 7, 2, etc. (no sé a partir de que elemento se repite la serie, o si se repite, pero con estos podemos manejar números del orden de 99999 millones).

   Ejemplo: 4415445581 es divisible por 17?

       1*1-7*8-2*5-3*5+4*4+6*4-8*5+5*1-1*4+7*4=-51

   y como -51 es divisible por 17, 4415445581 tambien.

3. Divisibilidad por 19:

   Se utiliza el mismo método descrito para el 13, pero ahora la serie a tener en cuenta es 1, -9, 5, -7, 6, 3, -8, -4, -2, -1, 9, etc. (no sé a partir de que elemento se repite la serie, pero con estos podemos manejar números del orden de 99999 millones).

   Ejemplo: 11366693 es divisible por 19?

       1*3-9*9+5*6-7*6+6*6+3*3-8*1-4*1=-57

   y como -57 es divisible por 19, 11366693 también.

---

Nota 1: Es muy fácil continuar con los números de las series descritas para 13, 17 y 19, pero no lo he hecho porque sólo buscaba conocer los criterios de divisibilidad, y ahora ya los conozco.

Nota 2: Este método es aplicable a cualquier primo, por lo cual existen criterios de divisibilidad para cualquier número.

Pablo GM. Pamplona.
seldon@redestb.es
http://www.redestb.es/personal/seldon/index.htm

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